Δύο άνδρες και δύο αγόρια θέλουν να διασχίσουν ένα ποτάμι. Το μικρό κανό τους θα φέρει μόνο έναν άντρα ή δύο αγόρια.

Ποιος είναι ο λιγότερος αριθμός εκδρομών με κανό για να περάσει κανείς;

Ένα γυμνάσιο έχει έναν παράξενο διευθυντή. Την πρώτη μέρα, έχει τους μαθητές του να πραγματοποιήσουν μια περίεργη τελετή έναρξης:

Υπάρχουν χιλιάδες ερμάρια και χίλιοι μαθητές στο σχολείο. Ο διευθυντής ζητά από τον πρώτο μαθητή να πάει σε κάθε ντουλάπι και να το ανοίξει. Στη συνέχεια, έχει το δεύτερο μαθητή να πάει σε κάθε δεύτερο ντουλάπι και να το κλείσει. Το τρίτο πηγαίνει σε κάθε τρίτο ντουλάπι και, αν είναι κλειστό, το ανοίγει και αν είναι ανοιχτό, το κλείνει. Ο τέταρτος μαθητής το κάνει σε κάθε τέταρτο ντουλάπι και ούτω καθεξής. Αφού ολοκληρωθεί η διαδικασία με τον χιλιοστό μαθητή, πόσα ντουλάπια είναι ανοιχτά;

Λύση

Τα μόνα ντουλάπια που παραμένουν ανοιχτά είναι τέλεια τετράγωνα (1, 4, 9, 16, κ.λπ.), επειδή είναι οι μοναδικοί αριθμοί που διαιρούνται με έναν μονό αριθμό ολόκληρων αριθμών. κάθε παράγοντας εκτός από την τετραγωνική ρίζα του αριθμού συνδυάζεται με έναν άλλο. Έτσι, αυτά τα ερμάρια θα "αλλάξουν" περίεργες φορές, που σημαίνει ότι θα παραμείνουν ανοιχτά. Όλοι οι άλλοι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν από έναν ζυγό αριθμό παραγόντων και συνεπώς θα καταλήξουν κλειστές.

Έτσι, ο αριθμός των ανοιχτών θυρίδων είναι ο αριθμός των τέλειων τετραγώνων μικρότερος ή ίσος με χίλια. Αυτοί οι αριθμοί είναι ένα τετράγωνο, δύο τετράγωνο, τρία τετράγωνα, τέσσερα τετράγωνα και ούτω καθεξής, έως και τριάντα ένα τετράγωνο. (Τριάντα δύο τετράγωνα είναι μεγαλύτερα από χίλια, και επομένως εκτός εμβέλειας.) Άρα η απάντηση είναι τριάντα μία.

Πρέπει να κόψετε μια τούρτα γενεθλίων σε ακριβώς οκτώ κομμάτια, αλλά επιτρέπεται να κάνετε μόνο τρεις ευθείες περικοπές και δεν μπορείτε να μετακινήσετε κομμάτια του κέικ καθώς κόβετε. Πώς μπορείτε να το κάνετε;

Λύση

Χρησιμοποιήστε τις δύο πρώτες περικοπές για να κόψετε ένα «Χ» στην κορυφή του κέικ. Τώρα έχετε τέσσερα κομμάτια. Κάντε την τρίτη κοπή οριζόντια, η οποία θα χωρίσει τα τέσσερα κομμάτια σε οκτώ. Σκεφτείτε έναν κύβο δύο προς δύο του Ρούμπικ. Υπάρχουν τέσσερα κομμάτια στην κορυφή και τέσσερα ακόμη ακριβώς κάτω από αυτό.

Δύο τρένα ταξιδεύουν το ένα προς το άλλο στην ίδια πίστα, ξεκινώντας 100 μίλια. Ένα τρένο ταξιδεύει με ταχύτητα 40 μιλίων ανά ώρα. ο άλλος ταξιδεύει στα 60 μίλια την ώρα. Ένα πουλί ξεκινά την πτήση στην ίδια τοποθεσία με το γρηγορότερο τρένο, πετώντας με ταχύτητα 90 μιλίων ανά ώρα. Όταν φτάνει στο πιο αργό τρένο, περιστρέφεται, πετώντας προς την άλλη κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα. Όταν φτάσει ξανά στο γρηγορότερο τρένο, γυρίζει - και ούτω καθεξής. Όταν τα τρένα συγκρούονται, πόσο μακριά θα πετάξει το πουλί;

Λύση

Δεδομένου ότι τα τρένα απέχουν 100 μίλια, και τα τρένα ταξιδεύουν το ένα προς το άλλο στα 40 και 60 μίλια / ώρα, τα τρένα θα συγκρουστούν σε μία ώρα. Το πουλί θα πετούσε για μια ώρα στα 90 μίλια ανά ώρα σε αυτό το σημείο, οπότε το πουλί θα είχε ταξιδέψει 90 μίλια.

Το ακόλουθο είναι αυτό που φαίνεται να είναι μια μαθηματική απόδειξη ότι δύο ισούται με ένα. Τι τρέχει με αυτό?

α = β
αα = αβ
aa - bb = ab - bb
(a + b) (a - b) = b (a - b)
α + β = β
α + α = α
2α = α
2 = 1

Λύση

Το πρόβλημα είναι με τη διαίρεση που πραγματοποιείται μεταξύ της τέταρτης και της πέμπτης εξίσωσης. Δεδομένου ότι a = b, a - b είναι μηδέν και δεν μπορείτε να διαιρέσετε με μηδέν.

Υπάρχουν πολλά κοτόπουλα και κουνέλια σε ένα κλουβί (χωρίς άλλους τύπους ζώων). Υπάρχουν 72 κεφαλές και 200 πόδια μέσα στο κλουβί. Πόσα κοτόπουλα υπάρχουν και πόσα κουνέλια;

Λύση

Εστω C είναι ο αριθμός των κοτόπουλων, και r είναι ο αριθμός των κουνελιών.

r + c = 72 4r + 2c = 200

Για την επίλυση των εξισώσεων, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με δύο και μετά αφαιρούμε το δεύτερο.

2r + 2c = 144 2r = 56 r = 28 c = 44

Υπάρχουν λοιπόν 44 κοτόπουλα και 28 κουνέλια στο κλουβί.

Είστε μάγειρας σε ένα εστιατόριο σε μια γραφική χώρα όπου τα ρολόγια είναι παράνομα. Έχετε μια κλεψύδρα τεσσάρων λεπτών, μια κλεψύδρα επτά λεπτών και μια κατσαρόλα με βραστό νερό. Ένας κανονικός πελάτης παραγγέλνει ένα αυγό εννέα λεπτών και γνωρίζετε ότι αυτό το άτομο είναι εξαιρετικά επιλεκτικό και δεν θα σας αρέσει αν έχετε ψηθεί ή ψηθεί το αυγό, ακόμη και για λίγα δευτερόλεπτα. Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για την προετοιμασία του αυγού και πώς θα το κάνετε;

Λύση

Χρειάζεται μόνο εννέα λεπτά για να μαγειρέψετε το αυγό. Εάν θέλετε να προσπαθήσετε να καταλάβετε πώς γίνεται σε αυτό το σύντομο χρονικό διάστημα πριν δείτε την απάντηση, σταματήστε να διαβάζετε τώρα. Για να ξεκινήσετε, γυρίστε και τις δύο κλεψύδρες και βάλτε το αυγό στο νερό. Όταν τελειώσει η κλεψύδρα των τεσσάρων λεπτών, αναστρέψτε την αμέσως. Όταν τελειώσει η κλεψύδρα των επτά λεπτών, αναστρέψτε την και πάλι αμέσως. Ένα λεπτό αργότερα, η κλεψύδρα τεσσάρων λεπτών θα τελειώσει ξανά. Σε αυτό το σημείο, γυρίστε το επτά λεπτά κλεψύδρα πίσω πάνω. Η κλεψύδρα των επτά λεπτών έτρεχε μόνο για ένα λεπτό, οπότε όταν γυρίσει ξανά, θα τρέξει μόνο για ένα λεπτό περισσότερο πριν τελειώσει. Όταν το κάνει, θα περάσουν ακριβώς εννέα λεπτά και το αυγό τελείωσε.

Ένα εκκεντρικό άτομο το καθιστά έργο της ζωής να δέσει ένα σχοινί γύρω από τον ισημερινό της γης. Αγοράζει πολλά σχοινιά και κάνει την προσπάθεια. Ένας αντίπαλος του, για να μην είναι ξεπερασμένος, αποφασίζει ότι θέλει να δέσει ένα σχοινί γύρω από τον ισημερινό της γης που ανυψώνεται από το έδαφος κατά ένα μέτρο σε όλα τα σημεία κατά μήκος του σχοινιού. Πόσο περισσότερο σχοινί χρειάζεται; Ας υποθέσουμε ότι η γη είναι τέλεια σφαιρική.

Λύση

Η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 2π r , όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου. Εάν θέλετε ένα σχοινί που είναι ένα μέτρο πάνω από το έδαφος, αυτή η ακτίνα είναι μεγαλύτερη κατά ένα μέτρο. Αφήστε το R να είναι αυτή η νέα ακτίνα. Έτσι R = r + 1.

Έστω x είναι το ποσό των επιπλέον σχοινί που απαιτούνται από τον αντίπαλό του εκκεντρικού του. Ετσι:

x = (2π (r + 1)) - (2πr) x = (2πr) + (2π) - (2πr) x = 2π

Έτσι το x είναι περίπου 6,2832 μέτρα. Σημειώστε ότι αυτή η απάντηση δεν εξαρτάται από την ακτίνα του κύκλου. Εάν ο εκκεντρικός και ο αντίπαλός του προσπαθούσαν να δέσουν ένα μπέιζμπολ και όχι τη γη, το ποσό του επιπλέον απαιτούμενου σχοινιού θα ήταν το ίδιο ποσό.